Question

4．已知a，b為正實數(shù)，直線y=x-a與曲線y=ln（x+b）相切，則$\frac{{a}^{2}}{2+b}$的取值范圍$（0，\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：函數(shù)的導數(shù)為y′=$\frac{1}{x+b}$=1，x=1-b，切點為（1-b，0），代入y=x-a，得a+b=1，
∵a、b為正實數(shù)，∴a∈（0，1），
則$\frac{{a}^{2}}{2+b}$=$\frac{{a}^{2}}{3-a}$，
令g（a）=$\frac{{a}^{2}}{3-a}$，則g′（a）=$\frac{a（6-a）}{（3-a）^{2}}$＞0，
則函數(shù)g（a）為增函數(shù)，
∴$\frac{{a}^{2}}{2+b}$∈$（0，\frac{1}{2}）$．
故答案為$（0，\frac{1}{2}）$．

點評 本題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．