Question

17．已知f（x）=2|x-2|+|x+1|
（1）求不等式f（x）＜6的解集；
（2）設(shè)m，n，p為正實數(shù)，且m+n+p=f（2），求證：mn+np+pm≤3．

Answer 1

分析 （1）利用零點(diǎn)分段法去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為不等式組，解出x的范圍；
（2）由基本不等式，可以解得m²+n²+p²≥mn+mp+np，將條件平方可得（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mn+2mp+2np=9，代入m²+n²+p²≥mn+mp+np，即可證得要求證得式子．

解答 （1）解：①x≥2時，f（x）=2x-4+x+1=3x-3，由f（x）＜6，∴3x-3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，
②-1＜x＜2時，f（x）=4-2x+x+1=5-x，由f（x）＜6，∴5-x＜6，∴x＞-1，即-1＜x＜2，
③x≤-1時，f（x）=4-2x-1-x=3-3x，由f（x）＜6，∴3-3x＜6，∴x＞-1，可知無解，
綜上，不等式f（x）＜6的解集為（-1，3）；
（2）證明：∵f（x）=2|x-2|+|x+1|，∴f（2）=3，
∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p為正實數(shù)
∴（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mn+2mp+2np=9，
∵m²+n²≥2mn，m²+p²≥2mp，n²+p²≥2np，
∴m²+n²+p²≥mn+mp+np，
∴（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）
又m，n，p為正實數(shù)，∴可以解得mn+np+pm≤3．
故證畢．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算能力，屬于中檔題．