設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與直線x=a,x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f(x)在[a,b]上的面積.已知函數(shù)y=sinnx在[0,
π
n
]
上的面積為
2
n
(n∈N*)
,則函數(shù)y=cos3x在[0,
6
]
上的面積為
5
3
5
3
分析:將y=cos3x化成y=sin(3x+
π
2
),令t=x+,則y=sin3t+1.t∈[
π
6
,π].
函數(shù)y=sinnx與函數(shù)y=sin3t類比,可以得出函數(shù)y=sin3t在[0,
π
3
]上的面積為
2
3
,
在[0,
π
6
]上的面積為在[0,
π
3
]上的面積的一半,等于
1
3
.再結(jié)合圖象,準(zhǔn)確地利用已知數(shù)據(jù)表示出陰影面積并計(jì)算即可.
解答:解:y=cos3x=sin(3x+
π
2
),令t=x+
π
6
,則y=sin3t.t∈[
π
6
,π]
在函數(shù)y=sinnx中,令n=3,得出函數(shù)y=sin3x在[0,
π
3
]上的面積為
2
3

在[0,
π
6
]上的面積為在[0,
π
3
]上的面積的一半,等于
1
3
. 
陰影部分面積為
2
3
=2
故函數(shù)y=cos3x在[0,
6
]
上的面積為2-
1
3
=
5
3

故答案為:
5
3
點(diǎn)評(píng):本題考查不規(guī)則圖象的面積求解,要充分利用已知信息,將所求問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.本題首先將函數(shù)名稱由余弦化成正弦,再進(jìn)行換元,以滿足已知信息模型,在具體求解時(shí),將不規(guī)則部分利用規(guī)則部分與已知數(shù)值表示.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的兩個(gè)根x1,x2滿足0<x1<x2
1
a

(1)當(dāng)x∈(0,x1)時(shí),證明x<f (x)<x1;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱,證明x0
x1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
ax2
+bx(a≠0)
(Ⅰ)若a=-2時(shí),函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),求b的取值范圍;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的結(jié)論下,設(shè)φ(x)=e2x+bex,x∈[0,ln2],求函數(shù)φ(x)的最小值;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)的圖象C2交于點(diǎn)P、Q,過(guò)線段PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線分別交C1、C2于點(diǎn)M、N,問(wèn)是否存在點(diǎn)R,使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行?若存在,求出R的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
ax2+bx(a≠0)
(I)若a=-2時(shí),函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),求b的取值范圍;
(II)若a=2,b=1,若函數(shù)k=g(x)-2f(x)-x2在[1,3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(III)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)的圖象C2交于P,Q兩點(diǎn),過(guò)線段PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線分別交C1、C2于M、N兩點(diǎn),問(wèn)是否存在點(diǎn)R,使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行?若存在,求出R的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
1
2
ax2+bx

(1)當(dāng)a=b=
1
2
時(shí),求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若b=2且h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;
(3)當(dāng)a≠0時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)的圖象C2交于點(diǎn)P、Q,過(guò)線段PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線分別交C1、C2于點(diǎn)M,N,則是否存在點(diǎn)R,使C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行?如果存在,請(qǐng)求出R的橫坐標(biāo),如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+x+b
(a≥0),f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)為A,曲線y=f(x)在A點(diǎn)處的切線方程是y=3x-3,求a,b的值;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=e-ax•f′(x),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間.

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