Question

如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，求：

(1)A₁B與平面A₁B₁CD所成的角；

(2)B₁B在平面A₁C₁B所成角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)如圖，連結(jié)BC1，交B1C于O，連A1O． 　　∵A1B1⊥平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1． 　　又B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1， 　　∴BC1⊥平面A1B1CD，O為垂足， 　　∴A1O為A1B在平面A1B1CD上的射影， 　　則∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角． 　　sin∠BA1O＝，∴∠BA1O＝30°． 　　(2)連結(jié)A1C1交B1D1于O1，連BO1， 　　作B1H⊥BO1于H．∵A1C1⊥平面D1DBB1，∴A1C1⊥B1H． 　　又B1H⊥BO1，A1C1∩BO1＝O1，∴B1H⊥平面A1C1B， 　　　∴∠B1BO1為B1B與平面A1C1B所成的角， 　　tan∠B1BO＝，即B1B與平面A1C1B所成的角的正切值為．

提示：

求線面成角，一定要找準(zhǔn)斜線在平面內(nèi)的射影． 　　(1)先找到斜足A1，再找出B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，即從B向平面A1B1CD作垂線，一定要證明它是平面A1B1CD的垂線． 　　這里可證BC1⊥平面A1B1CD，O為垂足， 　　∴A1O為A1B在平面A1B1CD上的射影． 　　(2)若將平面D1D1BB豎直放置在正前方，則A1C1橫放在正前方，估計(jì)B1B在平面A1C1B內(nèi)的射影應(yīng)落在O1B上，這是因?yàn)锳1C1⊥平面D1DBB1，∴故作B1H⊥O1B交于H時(shí)，BH1⊥A1C1，即H為B1在平面A1C1B內(nèi)的射影．另在求此角大小時(shí)，只要求∠B1BO1即可．