Question

下列說(shuō)法中：
①若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)b=2；
②f（x）=

2013-x2

+

x2-2013

既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
③已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=x（1+x），則當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）=x（1+|x|）；
④已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意的x，y∈R都滿足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），則f（x）是奇函數(shù)．
其中正確說(shuō)法的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：①由區(qū)間對(duì)稱(chēng)性求得a，再由函數(shù)為偶函數(shù)求得b的值判斷；
②由兩個(gè)根式內(nèi)部的代數(shù)式互為相反數(shù)化簡(jiǎn)后判斷；
③當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（x）═-f（-x）=-[-x（1-x）]=x（1-x）=x（1+|x|），由此判斷命題的真假；
④構(gòu)造f（-x）和f（x）之間的關(guān)系式，看符合奇函數(shù)還是偶函數(shù)，先賦值求出f（-1），再令a=-1，b=x即可說(shuō)明結(jié)論正確．

解答： 解：對(duì)于①，由f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數(shù)，
則a+4=-2a+1，解得a=-1，f（x）=-x²+（b-2）x+2，且b-2=0，則b=2，命題①正確；
對(duì)于②，由

2013-x2≥0 x2-2013≥0

，得x=±

2013

，且f（x）=

2013-x2

+

x2-2013

=0，
∴f（x）=

2013-x2

+

x2-2013

既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，命題②正確；
對(duì)于③，已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=x（1+x），
則當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-[-x（1-x）]=x（1-x）．
∴當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）=x（1+|x|），命題③正確；
對(duì)于④，已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意的x，y∈R都滿足
f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），
∵f（1）=f[（-1）²]=-f（-1）-f（-1）=0，∴f（-1）=0．
令x=-1，y=x，則f（-x）=f（-1•x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），
因此f（x）是奇函數(shù)，命題④正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，是中檔題．