Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），則數(shù)列{na_n}的前9項(xiàng)和為981．

Answer 1

分析 通過(guò)變形構(gòu)造首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列{a_n+1}，進(jìn)而可知na_n=-n+n•2ⁿ，通過(guò)錯(cuò)位相減法計(jì)算可知數(shù)列{n•2ⁿ}的前n項(xiàng)和T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，進(jìn)而利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=1+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2ⁿ，a_n=-1+2ⁿ，
∴na_n=-n+n•2ⁿ，
記數(shù)列{n•2ⁿ}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，
則T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
=-2-（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$+2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴S₉=-$\frac{9×10}{2}$+2+（9-1）×2¹⁰=2¹⁰-43=981，
故答案為：981．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分組求和法、錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．