【題目】如圖所示，橢圓的左、右頂點分別為，離心率，長軸與短軸的長度之和為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）在橢圓上任取點（與兩點不重合），直線交軸于點，直線交軸于點，證明：為定值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4

【解析】

（Ⅰ）由題意，2a+2b＝10，結合 解得a＝3，b＝2，即得到橢圓方程；（Ⅱ）設P（x0，y0），直線PA交y軸于點C（0，y1），直線PB交y軸于點D（0，y2），求得直線PA，PB的方程，分別求出y1，y2，再根據(jù)向量的數(shù)量積即可證明.

（Ⅰ）由題可知，，又解得.故橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）解法1：設，直線交軸于點，直線交軸于點.則，即.易知同向，故.

因為，，所以得直線的方程為，令，則；直線的方程為，令，則,

所以 ，為定值.

解法2：的左、右頂點分別為、，則有

由（Ⅰ）知，設直線、的斜率分別為，則.

直線的方程為，令得；直線的方程為

令得.所以.

解法3：的左、右頂點分別為、，則

如題圖所示，

.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為推動更多人閱讀，聯(lián)合國教科文組織確定每年的月日為“世界讀書日”.設立目的是希望居住在世界各地的人，無論你是年老還是年輕，無論你是貧窮還是富裕，都能享受閱讀的樂趣，都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻的思想大師們，都能保護知識產(chǎn)權.為了解不同年齡段居民的主要閱讀方式，某校興趣小組在全市隨機調查了名居民，經(jīng)統(tǒng)計這人中通過電子閱讀與紙質閱讀的人數(shù)之比為,將這人按年齡分組，其中統(tǒng)計通過電子閱讀的居民得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求的值及通過電子閱讀的居民的平均年齡；

（2）把年齡在第組的居民稱為青少年組，年齡在第組的居民稱為中老年組，若選出的人中通過紙質閱讀的中老年有人，請完成上面列聯(lián)表，則是否有的把握認為閱讀方式與年齡有關？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設．

討論的單調區(qū)間；

當時，在上的最小值為，求在上的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出以下四個命題：

（1）命題，使得，則，都有；

（2）已知函數(shù)f(x)＝|log2x|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，則ab＝1；

（3）若平面α內存在不共線的三點到平面β的距離相等，則平面α平行于平面β；

（4）已知定義在上的函數(shù) 滿足條件 ，且函數(shù) 為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關于點對稱．

其中真命題的序號為______________．（寫出所有真命題的序號）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： （a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線．

（1）若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；

（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，為坐標原點，設的面積為，求的最小值及此時直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為、，點為橢圓上任意一點，關于原點的對稱點為，有，且的最大值.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若是關于軸的對稱點，設點，連接與橢圓相交于點，問直線與軸是否交于一定點.如果是，求出該定點坐標；如果不是，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)討論的單調性；

(2)當時，，求的最大整數(shù)值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列中，，，.

（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（2）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，請說明理由；

（3）若且，，求證：使得，，成等差數(shù)列的點列在某一直線上.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案