Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-x-lnx（a為常數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）f（x）的極小值小于0，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²-x-lnx，再求導(dǎo)f′（x）=2x-1-

1

x

=

2x2-x-1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

，從而判斷單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）先求導(dǎo)f′（x）=

ax2-x-1

x

=0，從而確定f（x）在（0，

1+ 1+4a

2a

）上單調(diào)遞減，在（

1+ 1+4a

2a

，+∞）上遞增；從而得到f（x）的極小值，再由單調(diào)性確定極小值小于0時(shí)的a即可．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²-x-lnx，
f′（x）=2x-1-

1

x

=

2x2-x-1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，x＞1時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）令f′（x）=

ax2-x-1

x

=0得，即ax²-x-1=0，
得方程的兩根為x₁=

1- 1+4a

2a

，x₂=

1+ 1+4a

2a

；
∴f（x）在（0，

1+ 1+4a

2a

）上單調(diào)遞減，在（

1+ 1+4a

2a

，+∞）上遞增；
f（x）的極小值為f（x₂）=

1

2

ax₂²-x₂-lnx₂，
又ax₂²-x₂-1=0得，
f（x₂）=

1

2

（x₂+1）-x₂-lnx₂=-

x2

2

+

1

2

-lnx₂，
設(shè)h（x）=-

x

2

+

1

2

-lnx，h′（x）=-

1

2

-

1

x

＜0；
故h（x）=-

x

2

+

1

2

-lnx在（0，+∞）上遞減，
又h（1）=0，要使f（x₂）＜0，只需要x₂＞1；
則

1+ 1+4a

2a

＞1，故0＜a＜2；
即a的取值范圍為（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，屬于中檔題．