精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知函數f（x）=
1
2
ax2-x-lnx（a為常數）．
（Ⅰ）當a=2時，求函數f（x）f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在正實數a，使得函數f（x）f（x）的極小值小于0，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明理由．
考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值
專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用
分析：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x2-x-lnx，再求導f′（x）=2x-1-
1
x
=
2x2-x-1
x
=
(2x+1)(x-1)
x
，從而判斷單調區(qū)間；
（Ⅱ）先求導f′（x）=
ax2-x-1
x
=0，從而確定f（x）在（0，
1+
1+4a
2a
）上單調遞減，在（
1+
1+4a
2a
，+∞）上遞增；從而得到f（x）的極小值，再由單調性確定極小值小于0時的a即可．
解答： 解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x2-x-lnx，
f′（x）=2x-1-
1
x
=
2x2-x-1
x
=
(2x+1)(x-1)
x
，
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，x＞1時，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；
（Ⅱ）令f′（x）=
ax2-x-1
x
=0得，即ax2-x-1=0，
得方程的兩根為x1=
1-
1+4a
2a
，x2=
1+
1+4a
2a
；
∴f（x）在（0，
1+
1+4a
2a
）上單調遞減，在（
1+
1+4a
2a
，+∞）上遞增；
f（x）的極小值為f（x2）=
1
2
ax22-x2-lnx2，
又ax22-x2-1=0得，
f（x2）=
1
2
（x2+1）-x2-lnx2=-
x2
2
+
1
2
-lnx2，
設h（x）=-
x
2
+
1
2
-lnx，h′（x）=-
1
2
-
1
x
＜0；
故h（x）=-
x
2
+
1
2
-lnx在（0，+∞）上遞減，
又h（1）=0，要使f（x2）＜0，只需要x2＞1；
則
1+
1+4a
2a
＞1，故0＜a＜2；
即a的取值范圍為（0，2）．
點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

計算：（
1
tan
α
2
-tan
α
2
）•（1+tanα•tan
α
2
）=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
2
cos（x-
π
12
），x∈R．
（1）求f（
π
3
）及f（-
π
6
）的值；
（2）若cosθ=
3
5
，θ∈（
3π
2
，2π），求f（θ-
π
6
）和f（2θ+
π
3
）的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

三個數a=0.32，b=log20.3，c=log23之間的大小關系是（　　）
A、a＜c＜b
B、a＜b＜c
C、b＜a＜c
D、b＜c＜a

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）=
2-
x+3
x+1
的定義域為A，g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]（a＜1）的定義域為B．
（Ⅰ）求A、B；
（Ⅱ）若p：x∈A，q：x∈B，￢p是￢q充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=
sinx
tanx
．
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）已知α∈(0，
π
2
)，且f（α）=
5
13
，求f(α+
π
4
)的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

方程x2+y2+x+y-m=0表示一個圓，則m的取值范圍是（　　）
A、m＞-
1
2
B、m＜-
1
2
C、m≤-
1
2
D、m≥-
1
2

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

若雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓（x-2）2+y2=1相離，則其離心率e的取值范圍是（　�。�
A、e＞1
B、e＞
1+
5
2
C、e＞
2
3
3
D、e＞
5
2

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=loga（x2-2x+2a）（a＞0且a≠1）的定義域為[0，1]．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a，使得對任意的x∈[0，1]，關于x的不等式f（x）≥
5x-1
都成立？若存在，求出a的所有可能取值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案