Question

 

設為實數(shù)，函數(shù)，

（1）討論的奇偶性；

（2）求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

 解：(1)當a=0時，函數(shù)f(–x)=(–x)²+｜–x｜+1=f(x)，此時f(x)為偶函數(shù).

當a≠0時，f(a)=a²+1,f(–a)=a²+2｜a｜+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)

此時函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

（2）①當x≤a時，函數(shù)f(x)=x²–x+a+1=(x–)²+a+

若a≤，則函數(shù)f(x)在(–∞,a］上單調遞減.

從而函數(shù)f(x)在（–∞,a上的最小值為f(a)=a²+1

若a＞，則函數(shù)f(x)在（–∞,a上的最小值為f()=+a，且f()≤f(a).

②當x≥a時，函數(shù)f(x)=x²+x–a+1=(x+)²–a+

若a≤–，則函數(shù)f(x)在［a,+∞］上的最小值為f(–)=–a，且f(–)≤f(a)；

若a＞–，則函數(shù)f(x)在［a,+∞)單調遞增.

從而函數(shù)f(x)在［a,+∞）上的最小值為f(a)=a²+1.

綜上，當a≤–時，函數(shù)f(x)的最小值為–a；

當–＜a≤時，函數(shù)f(x)的最小值是a²+1；

當a＞時，函數(shù)f(x)的最小值是a+.