Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝.

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

(2)判斷并用定義證明函數(shù)f(x)在其定義域上的單調(diào)性．

(3)若對(duì)任意的t1，不等式f()＋f()<0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析； （3）.

【解析】

（1）根據(jù)奇偶性的判定方法求解即可；（2）根據(jù)“取值、作差、變形、定號(hào)、結(jié)論”的步驟證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)任意t1恒成立求解，通過換元法并結(jié)合分離參數(shù)求出函數(shù)的最值后可得所求的范圍．

(1)∵2x＋1≠0，

∴函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

∵，

∴函數(shù)為奇函數(shù)．

（3）函數(shù)在定義域上為增函數(shù)．證明如下：

設(shè)，且，

則，

∵y＝2x在上是增函數(shù)，且，

∴，

∴，

∴，

∴函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)．

（3）∵，

∴．

∵函數(shù)是奇函數(shù)，

∴．

又函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，

∴對(duì)任意1恒成立，

∴對(duì)任意t1恒成立．

令,，則，

∵函數(shù)在上是增函數(shù)，

∴，

∴，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．