Question

【題目】給定函數(shù)，若對于定義域中的任意，都有 恒成立，則稱函數(shù)為“爬坡函數(shù)”.

（Ⅰ）證明：函數(shù)是“爬坡函數(shù)”；

（Ⅱ）若函數(shù)是“爬坡函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若對任意的實數(shù)，函數(shù)都不是“爬坡函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】

(1)根據(jù)“爬坡函數(shù)”的定義，直接利用“作差法”證明恒成立即可；(2)由題意可知，恒成立，利用換元思想，設(shè)，則 ,即為,分別討論對稱軸，求出函數(shù)的最小值即可；(3)由題意可知，對任意的實數(shù),存在，使得成立，相當(dāng)于有兩不相等的實根，利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列不等式可得結(jié)果.

（Ⅰ）恒成立

是“爬坡函數(shù)”

（Ⅱ）依題意得恒成立，令

即在恒成立

當(dāng)，即，則只需滿足

當(dāng)，即，則只需滿足

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為；

（Ⅲ）根據(jù)題意可得到，對任意的實數(shù)，存在，使得成立

即

恒成立 即.