Question

已知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱，則有f（x）+f（2a-x）=2b對任意定義域內(nèi)的x均成立．
（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于點（0，1）對稱，求實數(shù)m的值；
（2）已知函數(shù)g（x）=-x²+nx+1（x＞0）在（1）的條件下，若對實數(shù)x＞0及t＞0時恒有不等式g（x）＜f（t）成立，求實數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題設(shè)，∵函數(shù)的圖象關(guān)于點（0，1）對稱，
∴f（x）+f（-x）=2，
∴+=2，
∴m=1；
（2）由（1）得f（t）=t++1（t＞0），
當(dāng)t＞0時，t++1+1=3，所以其最小值為f（1）=3，
g（x）=-x2+nx+1=-（x-）2+1+，
①當(dāng)＜0，即n＜0時，g（x）max=1+＜3，∴n∈（-2，0），
②當(dāng)≥0，即n≥0時，g（x）_max＜1＜3，∴n∈[0，+∞），
由①②得n∈（-2，+∞）．
分析：（1）利用函數(shù)的圖象關(guān)于點（0，1）對稱，可得f（x）+f（-x）=2，代入化簡，可得實數(shù)m的值；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，求出t＞0時f（t）的最小值，利用二次函數(shù)性分類討論可求得g（x）的最大值，根據(jù)對實數(shù)x＞0及t＞0時恒有不等式g（x）＜f（t）成立，得g（x）_max＜f（t）_min，由此可求實數(shù)n的取值范圍．
點評：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查恒成立條件下求參數(shù)取值范圍問題，考查分類討論思想，恒成立問題基本思路是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決，本題運(yùn)用基本不等式及二次函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)最值．