Question

設點P（x，y）（y≥0）為平面直角坐標系xOy中的一個動點（O為坐標原點），點P到定點的距離比點P到x軸的距離大．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）若直線l：y=kx+1與點P的軌跡相交于A、B兩點，且，求k的值；
（3）設點P的軌跡曲線為C，點Q（x，y）（x≤1）是曲線C上的一點，求以點Q為切點的曲線C的切線方程及切線傾斜角的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）過P作x軸垂線且垂足為N，由題意可知．由y≥0，知，由此能求出點P的軌跡方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立得x²-2kx-2=0，所以x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2，再由，結合弦長公式能求出k的值．
（3）因為Q（x，y）在曲線C上，所以切點，又求導得y'=x，所以切線斜率k=x，切線方程為2xx-2y-x²=0，由此能求出傾斜角取值范圍．
解答：解：（1）過P作x軸垂線且垂足為N，由題意可知
而y≥0，∴|PN|=y，∴
化簡得x²=2y（y≥0）為所求的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立，
得x²-2kx-2=0，
∴x₁+x₂=2k，
x₁x₂=-2，
∴k⁴+3k²-4=0，
而k²≥0，
∴k²=1，
∴k=±1．
（3）因為Q（x，y）在曲線C上，
∴x²=2y，
∴切點．
又求導得y'=x，
∴切線斜率k=x
則切線方程為，
即2xx-2y-x²=0為所求切線方程，
又x≤1，
∴切線斜率k≤1，
∴傾斜角取值范圍為．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．