Question

對任意實(shí)數(shù)x定義：2^x為x的冪數(shù)，已知a，b，c∈R，若a，b的冪數(shù)之和與a，b之和的冪數(shù)相等，且a，b，c的冪數(shù)之和與a，b，c之和的冪數(shù)也相等，則c的最大值為（　�。�

• A、2-log₂3
• B、log₃2
• C、1
• D、log₂3

Answer 1

考點(diǎn)：有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：a，b的冪數(shù)之和與a，b之和的冪數(shù)相等，且a，b，c的冪數(shù)之和與a，b，c之和的冪數(shù)也相等，可得2^a+2^b=2^a+b，2^a+2^b+2^c=2^a+b+c．利用基本不等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵a，b的冪數(shù)之和與a，b之和的冪數(shù)相等，且a，b，c的冪數(shù)之和與a，b，c之和的冪數(shù)也相等，
∴2^a+2^b=2^a+b，2^a+2^b+2^c=2^a+b+c．
∴2^c（2^a+b-1）=2^a+b＞0，2a+b≥2

2a•2b

，可得a+b≥2．
∴2c=

2a+b

2a+b-1

=1+

1

2a+b-1

≤

4

3

，
∴c≤log2

4

3

=2-log₂3．
∴c的最大值為2-log₂3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．