Question

若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．

（1）求的極值；

（2）函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為（2）函數(shù)和存在唯一的隔離直線

【解析】

試題分析：(1) ，

．        

當(dāng)時(shí)，．                     

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減； 

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；

∴當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為．   …………………………………6分   

(2)解法一：由（1）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，因此若存在和的隔離直線，則該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)．          

設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．                                

由，可得當(dāng)時(shí)恒成立．

，                             

由，得．                       

下面證明當(dāng)時(shí)恒成立．

令，則

，                

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；

∴當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為．   

從而，即恒成立．            

∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．……………12分 

解法二： 由(1)可知當(dāng)時(shí)， (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)) ．

若存在和的隔離直線，則存在實(shí)常數(shù)和，使得

和恒成立，

令，則且

，即．                    

后面解題步驟同解法一．

考點(diǎn)：函數(shù)求極值及利用函數(shù)求解不等式恒成立問題

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)極值要首先確定定義域，通過(guò)導(dǎo)數(shù)等于零找到極值點(diǎn)，但要說(shuō)明是極大值還是極小值，第二問中將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，這種轉(zhuǎn)化思路是函數(shù)綜合題中常用的思路，其中找到函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)是求解的關(guān)鍵