已知 
m
=(
3
sinx,cosx),
n
=(cosx,-cosx),x∈R,定義函數(shù)f(x)=
m
n
-
1
2

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期,值域,單調(diào)增區(qū)間.
(2)設(shè)△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a、b、c,且c=
3
,f(C)=0,若向量
d
=(1,sinA)與 
e
=(2,sinB)共線,求邊a,b的值及△ABC的面積S?
分析:(1)利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及輔助角公式對已知函數(shù)進(jìn)行化簡,然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解
(2)由f(C)=sin(2C-
π
6
)-1=0,及C為△ABC的內(nèi)角,可求C,然后結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示可得sinB與sinA的關(guān)系,根據(jù)正弦定理進(jìn)而可得b與a的關(guān)系,最后利用余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,即可求解
解答:解:(1)∵f(x)=
m•
n
-
1
2
=
3
sinx•cosx-cos2x-
1
2
 
=
3
2
 sin2x-
1+cos2x
2
-
1
2

=sin(2x-
π
6
)-1
 
∴f(x)的最小正周期T=π,值域?yàn)閇-2,0],
令2kπ2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
 ⇒kπ+
π
6
≤x≤kπ+
π
3
,(k∈Z),
∴f(x)的增區(qū)間為:[kπ+
π
6
,kπ+
π
3
]
 (k∈Z),
(2)∵f(x)=sin(2x-
π
6
)-1
,f(C)=0,
∴f(C)=sin(2C-
π
6
 )-1=0,又C為△ABC的內(nèi)角,
∴C=
π
3
 
d
=(1,sinA)與
e
=(2,sinB)共線
∴sinB=2sinA,根據(jù)正弦定理得:b=2a①,
由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,即3=a2+b2-ab②,
聯(lián)立①②,解得a=1,b=2.
∴△ABC的面積S=
1
2
absinC
=
3
2
點(diǎn)評:本題主要考查了向量數(shù)量積及向量平行的坐標(biāo)表示的應(yīng)用,二倍角公式、輔助角公式等公式在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用,正弦定理及余弦定理的綜合應(yīng)用,本題具有一定的綜合性
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
sinωx+cosωx

(1)當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)M(
3
,2)
,且0<ω<1時(shí),求ω的值;
(2)當(dāng)若ω=2時(shí),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]
上的最大值與最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
m
=(2cosωx,
3
sinωx),
n
=(cosωx,2cosωx)
,(ω>0),f(x)=
m
n
-1
,且f(x)的最小正周期為π.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若在△ABC中,AC=2,BC=2
3
,f(
A
2
)=1,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•上海)定義向量
OM
=(a,b)的“相伴函數(shù)”為f(x)=asinx+bcosx,函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”為
OM
=(a,b)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S.
(1)設(shè)g(x)=3sin(x+
π
2
)+4sinx,求證:g(x)∈S;
(2)已知h(x)=cos(x+α)+2cosx,且h(x)∈S,求其“相伴向量”的模;
(3)已知M(a,b)(b≠0)為圓C:(x-2)2+y2=1上一點(diǎn),向量
OM
的“相伴函數(shù)”f(x)在x=x0處取得最大值.當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求tan2x0的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:高考真題 題型:解答題

定義向量=(a,b)的“相伴函數(shù)”為f(x)=asinx+bcosx,函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”為=(a,b)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S。
(1)設(shè)g(x)=3sin(x+)+4sinx,求證:g(x)∈S;
(2)已知h(x)=cos(x+α)+2cosx,且h(x)∈S,求其“相伴向量”的模;
(3)已知M(a,b)(b≠0)為圓C:(x-2)2+y2=1上一點(diǎn),向量的“相伴函數(shù)”f(x)在x=x0處取得最大值,當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求tan2x0的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

定義向量=(a,b)的“相伴函數(shù)”為f(x)=asinx+bcosx,函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”為=(a,b)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S.
(1)設(shè)g(x)=3sin(x+)+4sinx,求證:g(x)∈S;
(2)已知h(x)=cos(x+α)+2cosx,且h(x)∈S,求其“相伴向量”的模;
(3)已知M(a,b)(b≠0)為圓C:(x-2)2+y2=1上一點(diǎn),向量的“相伴函數(shù)”f(x)在x=x處取得最大值.當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求tan2x的取值范圍.

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