Question

設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值為f（a），試確定滿足f(a)=

1

2

的a的值，并對此時(shí)的a值求y的最大值及對應(yīng)x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用換元法，令cosx=t，t∈[-1，1]，把原函數(shù)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，由對稱軸所在的區(qū)間分類求最小值，由最小值等于

1

2

求解a的值為-1，把a(bǔ)=-1代入原函數(shù)求得y的最大值，并得到相應(yīng)的x的取值集合．

解答： 解：令cosx=t，t∈[-1，1]，
則y=2t²-2at-（2a+1），對稱軸t=

a

2

，
當(dāng)

a

2

＜-1，即a＜-2時(shí)，[-1，1]是函數(shù)y的遞增區(qū)間，ymin=1≠

1

2

；
當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，[-1，1]是函數(shù)y的遞減區(qū)間，ymin=-4a+1=

1

2

，
解得a=

1

8

，與a＞2矛盾；
當(dāng)-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2時(shí)，ymin=-

a2

2

-2a-1=

1

2

，a2+4a+3=0
解得a=-1，或a=-3（舍），
∴a=-1，此時(shí)y_max=-4a+1=5，x∈{x|x=2kπ，k∈Z}．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的最值，訓(xùn)練了換元法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．