Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與圓x²+y²=（

b

2

+c）²（c為橢圓半焦距）有四個(gè)不同交點(diǎn)，則離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓錐曲線(xiàn)的綜合,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由圓的方程求得圓的半徑，要使橢圓與圓有四個(gè)不同交點(diǎn)，則圓的半徑大于橢圓短半軸小于橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，由此得到不等式求得橢圓離心率的范圍．

解答： 解：由圓x²+y²=（

b

2

+c）²是以原點(diǎn)為圓心，以

b

2

+c為半徑的圓，
∴要使橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與圓x²+y²=（

b

2

+c）²有四個(gè)不同交點(diǎn)，
則b＜

b

2

+c＜a，
由b＜

b

2

+c，得b＜2c，即a²-c²＜4c²，即

c

a

＞

5

5

；
聯(lián)立

b 2 +c＜a b2=a2-c2

，解得

c

a

＜

3

5

或e＞1（舍）．
∴橢圓離心率的取值范圍是

5

5

＜e＜

3

5

．
故答案為：

5

5

＜e＜

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了橢圓與圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．