如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1，M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn)．
（1）證明：CM∥平面DFB
（2）求異面直線(xiàn)AM與DE所成的角的余弦值．
（1）設(shè)正方形的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于點(diǎn)O，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，ACEF為矩形，故MF和CO平行且相等，
故四邊形COFM為平行四邊形，故CM∥OF，
而OF?平面DFB，CM不在平面DFB內(nèi)，∴CM∥平面DFB．
（2）以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)C（0，0），點(diǎn)A（
2
，
2
，0），點(diǎn)E（0，0，1），
點(diǎn)D（
2
，0，0），點(diǎn)M（
2
2
，
2
2
，1），
∴
AM
=（-
2
2
，-
2
2
，1），
DE
=（-
2
，0，1），|
AM
|=
2
，|
DE
|=
3
，
AM
•
DE
=1+0+1=2．
設(shè)
AM
、
DE
的夾角為θ，cosθ=
AM
•
DE
|AM
|•|
DE
|
=
2
2
•
3
=
6
3
，故異面直線(xiàn)AM與DE所成的角的余弦值為
6
3
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知球面上的三點(diǎn)A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半徑為13，求球心到平面ABC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，O為底面中心，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB．M是PD的中點(diǎn)
（1）求證：直線(xiàn)MO∥平面PAB；
（2）求證：平面PCD⊥平面ABM．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是AC，PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）若PA=AB，求EF與平面PAC所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖為一組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2
（Ⅰ）求證：BE∥平面PDA；
（Ⅱ）求四棱錐B-CEPD的體積；
（Ⅲ）求該組合體的表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB=90°．
（1）求證：BC⊥AA1．
（2）若M，N是棱BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，求證：A1N∥平面AB1M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2BC，P、Q分別為線(xiàn)段AB、CD的中點(diǎn)，EP⊥底面ABCD．
（1）求證：AQ∥平面CEP；
（2）求證：平面AEQ⊥平面DEP；
（3）若EP=AP=1，求三棱錐E-AQC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，cos∠BAC=
3
5
．
（1）求證：BC⊥AC1；
（2）若D是AB的中點(diǎn)，求證：AC1∥平面CDB1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖：三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AC=BC=
1
2
AA1=2，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，E點(diǎn)在BB1上且DE=
6
．
（1）求證：AB1∥平面DEC．
（2）求證：A1E⊥平面DEC．

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