Question

如圖所示，在⊙O上半圓中，AC=a，CB=b，CD⊥AB，EO⊥AB，請你利用CD≤OD≤CE寫出一個含有a，b的不等式

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：連接AD，BD，OD，根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出OD，在直角三角形ABD中，應(yīng)用角的正切定義求出CD，根據(jù)CD≤OD從而得到

ab

≤

a+b

2

，在直角三角形EOC中，由勾股定理得到EC=

a2+b2 2

，又EO=OD≤EC，從而

a+b

2

≤

a2+b2 2

．

解答： 解：連接AD，BD，OD，由直徑所對的圓周角為直角得，∠ADB=90°，
∵AC=a，CB=b，∴OD=

AB

2

=

a+b

2

，
在直角三角形DAC中，tan∠DAC=

CD

AC

=

CD

a

，
在直角三角形BCD中，tan∠DBC=

CD

BC

=

CD

b

，
又∠DAC+∠DBC=90°，
∴

CD

a

•

CD

b

=1，CD=

ab

，
由于CD≤OD，故

ab

≤

a+b

2

，
∵EO⊥AB，EO=

a+b

2

，
∴EC=

EO2+OC2

=

(a+b)2 4 +(a- a+b 2 )2

=

a2+b2 2

又EO=OD≤EC，
∴

a+b

2

≤

a2+b2 2

，
∴

ab

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

．
故答案為：

ab

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

．

點評：本題主要考查基本不等式的幾何證明，考查平面幾何的基礎(chǔ)知識：直角三角形的勾股定理、斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及三角函數(shù)的定義等，是一道基礎(chǔ)題．