Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，AB中點為E，點F，G分別在線段AD，BC上隨機運動，則∠FEG為銳角的概率是

 

．

Answer 1

考點：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計

分析：利用兩角和的正切公式，利用線性規(guī)劃，以及幾何概型的概率公式即可得到結論．

解答： 解：設FA=x，GB=y，
則0≤x≤3，0≤y≤3，平面區(qū)域{（x，y）|0≤x≤3，0≤y≤3}對應的區(qū)域是正方形邊長為3，面積S=9．
則tan∠FEA=

AF

AE

=x，tan∠GEB=

BG

BE

=y，
則tan（∠GEB+∠FEA）=

tan∠FEA+tan∠GEB

1-tan∠FEA•tan∠GEB

=

x+y

1-xy

，
若∠FEG為銳角，則等價為∠GEB+∠FEA是鈍角，
即tan（∠GEB+∠FEA）=

x+y

1-xy

＜0，
即1-xy＜0，即y＞

1

x

，
作出對應的平面區(qū)域如圖：
當y=3時，由

1

x

=3，解得x=

1

3

，A（

1

3

，3），
當x=3時，y=

1

3

，即B（3，

1

3

），
則矩形ODAE的面積S=3×

1

3

=1，
曲邊四邊形ACFB的面積S=

∫

3 1 3

1

x

dx═lnx|

3 1 3

=ln3-ln

1

3

=2ln3，
∴陰影部分的面積S=9-1-2ln3=8-2ln3，
（陰影部分的面積也可以這樣求S=

∫

3 1 3

(3-

1

x

)dx=(3x-lnx)

|

3 1 3

=8-2ln3，）
∴根據(jù)幾何概型的概率公式可得∠FEG為銳角的概率

8-2ln3

9

，
故答案為：

8-2ln3

9

點評：本題主要考查幾何概型的概率計算，根據(jù)條件將∠FEG為銳角進行轉化，利用積分求出對應區(qū)域的面積是解決本題的關鍵，綜合性較強，涉及的知識點較多．