Question

18．已知α，β為銳角，$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β）．
（1）求tan（α+β）cotα的值；
（2）求tanβ的最大值．

Answer 1

分析 （1）由β=（α+β）-α，利用三角函數(shù)恒等變換的應用即可化簡得解．
（2）由條件利用兩角和差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關系可得2tanβtan²α-tanα+tanβ=0，再根據(jù)△=1-4（2tanβ）•tanβ≥0，求得tanβ的最大值．

解答 解：（1）∵sinβ=cos（α+β）sinα，
∴sin[（α+β）-α]=cos（α+β）sinα，
∴sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=cos（α+β）sinα
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）cotα=2
（2）∵sinβ=cos（α+β）sinα=sinαcosαcosβ-sinβsin²α
∴sinβ（1+sin²α）=sinαcosαcosβ，
∴$tanβ=\frac{sinαcosα}{{1+{{sin}^2}α}}=\frac{sinαcosα}{{2{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}$
即$tanβ=\frac{tanα}{{2{{tan}^2}α+1}}$，
∵2tanβtan²α-tanα+tanβ=0，
∴（-1）²≥4（2tanβ）•tanβ，
∴$tanβ≤\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，當且僅當$tanα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時等號成立．
故tanβ的最大值為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題主要考查了兩角和差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關系，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．