Question

17．在鈍角△ABC中，若B=2A，則$\frac{a}$的取值范圍是（0，$\sqrt{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 由條件利用正弦定理、二倍角的正弦公式求得$\frac{a}$=2cosA，再分B為鈍角、C為鈍角兩種情況，分別求得A的范圍，可得$\frac{a}$的取值范圍．

解答 解：鈍角△ABC中，∵B=2A，則$\frac{a}$=$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{sin2A}{sinA}$=$\frac{2sinAcosA}{sinA}$=2cosA．
若B為鈍角，即 $\frac{π}{2}$＜2A＜π，即$\frac{π}{4}$＜A＜$\frac{π}{2}$，∴0＜cosA＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{a}$∈（0，$\sqrt{2}$）．
若C=π-A-B=π-3A為鈍角，則$\frac{π}{2}$＜π-3A＜π，∴0＜A＜$\frac{π}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜cosA＜1，∴$\frac{a}$∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．
綜上可得，$\frac{a}$的取值范圍是（0，$\sqrt{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
故答案為：（0，$\sqrt{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

點評 本題主要考查二倍角的正弦公式、正弦定理的應(yīng)用，余弦函數(shù)的定義域和值域，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．