Question

10．在三角形ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}cosB}$
（1）求角B；
（2）若角A是三角形ABC的最大角，求cos（B+C）+$\sqrt{3}$sinA的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由正弦定理求得a和b的關(guān)系式，與題設(shè)等式聯(lián)立求得sinB=$\sqrt{3}$cosB，進(jìn)而求得tanB的值，則B的值可求．
（2）利用誘導(dǎo)公式把cos（B+C）轉(zhuǎn)化成-cosA，然后利用兩角和公式整理，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)和A的范圍求得原式的取值范圍．

解答 解：（1）∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}cosB}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{sinA}{sinA}=\frac{sinB}{\sqrt{3}cosB}$，解得：sinB=$\sqrt{3}$cosB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵0＜B＜π，
∴解得：B=$\frac{π}{3}$．
（2）在△ABC中，B+C=π-A，
所以cos（B+C）+$\sqrt{3}$sinA=$\sqrt{3}$sinA-cosA=2sin（A-$\frac{π}{6}$），
由題意，得$\frac{π}{3}$≤A＜$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$≤A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，
所以sin（A-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1），即2sin（A-$\frac{π}{6}$）∈[1，2），
所以cos（B+C）+$\sqrt{3}$sinA的取值范圍是：[1，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值，正弦定理的運(yùn)用和兩角和公式的化簡求值．要求學(xué)生對三角函數(shù)的基本性質(zhì)如單調(diào)性，值域，對稱性等知識熟練掌握，屬于中檔題．