Question

若不等式

x2

4

+3y2≥

xy

k

對任意的正數(shù)x，y總成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍

 

．

Answer 1

分析：若k＞0，由題意可得k應(yīng)大于或等于

xy

x2 4 +3y2

的最大值，由基本不等式可得

xy

x2 4 +3y2

的最大值為

3

3

，故k≥

3

3

，當(dāng)k＜0 時，不等式顯然成立，從而得到答案．

解答：解：若k＞0，由于不等式

x2

4

+3y2≥

xy

k

對任意的正數(shù)x，y總成立，∴k≥

xy

x2 4 +3y2

，
故k應(yīng)大于或等于

xy

x2 4 +3y2

的最大值．∵

xy

x2 4 +3y2

≤

xy

2 3x2 4 y2

=

xy

3 xy

=

3

3

，
故

xy

x2 4 +3y2

的最大值為

3

3

，故k≥

3

3

．
當(dāng)k＜0 時，不等式顯然成立．綜上，k≥

3

3

或k＜0，
故答案為k≥

3

3

或k＜0．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意容易忽視k＜0 時的情況．