Question

（2011•溫州二模）如圖，與拋物線C₁：y=x²相切于點P（a，a²）的直線l與拋物線C₂：y=-x²相交于A，B兩點，拋物線C₂在A，B處的切線相交于點Q．
（1）求證：點Q在拋物線C₁上；
（2）若∠QAB是直角，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（I）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求直線l的方程為y-a²=2a（x-a），由方程

y=2ax-a2 y=-x2

，消去y可得x²+2ax-a²=0可求x1 +x2=-2a，x1x2=-a2，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求切線QA、QB的方程，從而可求Q，可證
（II）若∠QAB=90°，則

QA

•

PA

=0?(x1-a)(x1+a)+(x12+a2)(x12+a2)=0，結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系及a（x₂-x₁）始終為負值，代入可求a
解法二：若∠QAB=90°，則

QA

•

PA

=0?(x1-a)(x1+a)+(x12+a2)(x12+a2)=0整理可得，x14+(2a2+1)x12+a4- a2 =0，由x₁+x₂=-2a，x1x2=-a2消去x₂得x1=-a±

2

a，由于x₁與a同號可求x₁，進而可求a

解答：證明：（I）∵y′=2x
∴y′|_x=a=2a，直線l的方程為y-a²=2a（x-a）（2分）
令A(yù)（x1，-x12），B（x2，-x22），由方程

y=2ax-a2 y=-x2

，消去y可得x²+2ax-a²=0
∴x1 +x2=-2a，x1x2=-a2（4分）
∵y′|x=x₁=-2x₁，y′|x=x2=-2x2
∴切線QA的方程y+x12=-2x1(x-x1)（1）
切線QB的方程y+x22=-2x2(x-x2)（2）
（1）（2）聯(lián)立可得

x= x1+x2 2 =-a y=-x1x2=a2

即Q （-a，a²）
∴點Q在拋物線C₁上（7分）
（II）若∠QAB=90°，則

QA

•

PA

=0
∴(x1-a)(x1+a)+(x12+a2)(x12+a2)=0
∴x1x2+a(x2-x1)+(x1x2)2+a2( x12+x22)+a⁴-a²=0（11分）
∵[a(x2-x1)]2=a2[(x1+x2)2-4x1x2]=8a⁴
由于a（x₂-x₁）始終為負值
∴a(x2-x1)=-2

2

a2（13分）
∴8a4-2a2-2

2

a2=0
∴a=±

2 +1

2

（15分）
解法二：若∠QAB=90°，則

QA

•

PA

=0
∴(x1-a)(x1+a)+(x12+a2)(x12+a2)=0
整理可得，x14+(2a2+1)x12+a4- a2 =0（1）（11分）
∴x₁+x₂=-2a，x1x2=-a2消去x₂得x12+2ax1-a2=0，解得x1=-a±

2

a
由于x₁與a同號∴x1=-a+

2

a  （2）（13分）
把（2）代入（1）可得，（12-8

2

）a²=

2

-1
∴a= ±

2 +1

2

（15分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某點的切線方程，直線與曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的坐標表示及方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于綜合試題