Question

某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米，且l≥2r．假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c（c＞3）千元．設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元．
（Ⅰ）寫(xiě)出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r．

Answer 1

解：（1）由體積V=，解得l=，
∴y=2πrl×3+4πr²×c=6πr×+4cπr²=2π·，
又l≥2r，即≥2r，解得0＜r≤2
∴其定義域?yàn)椋?，2]．
（2）由（1）得，y′=8π（c﹣2）r﹣=，0＜r≤2
由于c＞3，所以c﹣2＞0
當(dāng)r³﹣=0時(shí)，則r=
令=m，（m＞0）
所以y′=
①當(dāng)0＜m＜2即c＞時(shí)，當(dāng)r=m時(shí)，y′=0
當(dāng)r∈（0，m）時(shí)，y′＜0
當(dāng)r∈（m，2）時(shí)，y′＞0
所以r=m是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)．
②當(dāng)m≥2即3＜c≤時(shí)，當(dāng)r∈（0，2）時(shí)，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．
所以r=2是函數(shù)y的最小值點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)3＜c≤時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r=2；
當(dāng)c＞時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r=