Question

15．若a，b是函數(shù)f（x）=x²-px+q（p＞0，q＞0）的兩個不同的零點，c＜0且a，b，c這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則$\frac{p}{^{2}}$$+\frac{q}{a}$-2c的最小值等于（　�。�

• A． 9
• B． 10
• C． 3
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，c這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列列關(guān)于a，b的方程組，求得a，b的關(guān)系，代入化簡，再由基本不等式得答案．

解答 解：∵a，b是函數(shù)f（x）=x²-px+q（p＞0，q＞0）的兩個不同的零點，
即a，b是一元二次方程x²-px+q=0（p＞0，q＞0）的兩個根，
∴根據(jù)一元二次方程的韋達定理可得a+b=p，ab=q，（a＞0，b＞0，a≠b），
由題意可得ab=c²，b+c=2a，
消去c可得ab=（2a-b）²=4a²-4ab+b²，
即為（a-b）（4a-b）=0，
解得b=4a（b=a舍去），
則$\frac{p}{^{2}}$$+\frac{q}{a}$-2c=$\frac{a+b}{^{2}}$+$\frac{ab}{a}$-2（2a-b）=8a+$\frac{5}{16a}$≥2$\sqrt{8a•\frac{5}{16a}}$=$\sqrt{10}$，
當(dāng)且僅當(dāng)8a=$\frac{5}{16a}$，即a=$\frac{\sqrt{10}}{16}$時，取得等號．
則所求的最小值為$\sqrt{10}$．
故選：D．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，考查韋達定理和等差數(shù)列、等比數(shù)列中項的性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．