Question

（2013•嘉興二模）如圖，已知拋物線C1：x2=2py的焦點(diǎn)在拋物線C2：y=

1

2

x2+1上，點(diǎn)P是拋物線C₁上的動點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線C₁的方程及其準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作拋物線C₂的兩條切線，M、N分別為兩個(gè)切點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線MN的距離為d，求d的最小值．

Answer 1

分析：（I）由題意拋物線C₁的焦點(diǎn)為拋物線C₂的頂點(diǎn)（0，1），由此算出p=2，從而得到拋物線C₁的方程，得到C₁的準(zhǔn)線方程；
（II）設(shè)P（2t，t²），M(x1，

1

2

x

2 1

+1)，N(x2，

1

2

x

2 2

+1)，用直線方程的點(diǎn)斜式列出直線PM方程并將點(diǎn)P坐標(biāo)代入，化簡可得

x

2 1

-4tx1+2t2-2=0，同理得到

x

2 2

-4tx2+2t2-2=0．然后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，算出x₁+x₂=4t，x₁x₂=2t²-2，將直線MN的兩點(diǎn)式方程化簡并代入前面算出的式可得MN的方程為y=2tx+2-t²．最后利用點(diǎn)到直線的距離公式列式，采用換元法并且運(yùn)用基本不等式求最值，即可算出P到直線MN的距離d的最小值為

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線C₁的方程為x²=2py，∴拋物線的焦點(diǎn)為F(0，

p

2

)，…（2分）
∵拋物線C1：x2=2py的焦點(diǎn)在拋物線C₂上
∴

p

2

=1，可得p=2．…（4分）
故拋物線C₁的方程為x²=4y，其準(zhǔn)線方程為y=-1．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)P（2t，t²），M(x1，

1

2

x

2 1

+1)，N(x2，

1

2

x

2 2

+1)，
可得PM的方程：y-(

1

2

x

2 1

+1)=x1(x-x1)，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)代入，化簡得t2=2tx1-

1

2

x

2 1

+1，即

x

2 1

-4tx1+2t2-2=0．
同理可得PN：y=x2x-

1

2

x

2 2

+1，得

x

2 2

-4tx2+2t2-2=0．…（8分）
由

x 2 1 -4tx1+2t2-2=0  x 2 2 -4tx2+2t2-2=0

得x₁、x₂是方程

x

2

-4tx +2t2-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=4t，x₁x₂=2t²-2．…（*）
∵M(jìn)N的方程：y-(

1

2

x

2 1

+1)=

1 2 x 2 1 +1-( 1 2 x 2 2 +1)

x1-x2

(x-x1)，
∴化簡整理，得y-(

1

2

x

2 1

+1)=

1

2

(x1+x2)(x-x1)
代入（*）式，可得MN的方程為y=2tx+2-t²．…（12分）
于是，點(diǎn)P到直線MN的距離d=

|4t2-t2+2-t2|

1+4t2

=2

(1+t2)2 1+4t2

．
令s=1+4t²（s≥1），則d=

1

2

s+ 9 s +6

≥

1

2

6+6

=

3

（當(dāng)s=3時(shí)取等號）．
由此可得，當(dāng)P坐標(biāo)為（±

2

，

1

2

）時(shí)，點(diǎn)P到直線MN的距離d的最小值為

3

．…（15分）

點(diǎn)評：本題給出拋物線C₁的焦點(diǎn)為拋物線C₂的頂點(diǎn)，求拋物線C₁的方程并討論過拋物線C₁上動點(diǎn)P作拋物線C₂的兩條切線的問題．著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識點(diǎn)，屬于中檔題．