(2013•嘉興二模)已知點A(-3,0)和圓O:x2+y2=9,AB是圓O的直徑,M和N是AB的三等分點,P(異于A,B)是圓O上的動點,PD⊥AB于D,
PE
ED
(λ>0)
,直線PA與BE交于C,則當λ=
1
8
1
8
時,|CM|+|CN|為定值.
分析:設點P(x0,y0),則點E(x0,
1
1+λ
•y0
),用點斜式求出PA、BE的方程,聯(lián)立方程組求得點C滿足的關系式,為
x2
9
+
y2
9
1+λ
=1,故點C在以AB為長軸的橢圓上,當M、N為此橢圓的焦點時,|CM|+|CN|為定值2a=6.再根據(jù)
a2-b2=c2 可得λ的值.
解答:解:由題意可得B(3,0),M(-1,0)、N(1,0),設點P(x0,y0),則點E(x0
1
1+λ
•y0
).
故PA的方程為 y=
y0
x0+3
•(x+3)…①,BE的方程為 y=
1
1+λ
•y0
x0-3
(x-3)…②.
由①②聯(lián)立方程組可得 y2=
y02
(1+λ)(x02-9)
 (x2-9).
y02=9-x02 代入化簡可得
x2
9
+
y2
9
1+λ
=1,故點C在以AB為長軸的橢圓上,當M、N為此橢圓的焦點時,
|CM|+|CN|為定值2a=6.
此時,a=3,c=1,b=
9
1+λ
,由 a2-b2=c2 可得 9-
9
1+λ
=1,求得λ=
1
8
,
故答案為
1
8
點評:本題主要考查直線和圓的位置關系,橢圓的定義和簡單性質的應用,求兩條直線的交點坐標,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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12
x2+1
上,點P是拋物線C1上的動點.
(Ⅰ)求拋物線C1的方程及其準線方程;
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1
2
(1-x)<log
1
2
x
,則( 。

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