Question

16．已知函數(shù)$f（x）=1+2sin（{2ωx+\frac{π}{6}}）$（其中0＜ω＜2），若直線$x=\frac{π}{6}$是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸．
（1）求ω及f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）$x∈[{-\frac{π}{2}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$的單調(diào)減區(qū)間．
（3）若f（x）與g（x）關于$（{\frac{π}{4}\;，\;\;0}）$對稱，求g（x）在區(qū)間$[{0\;，\;\;\frac{π}{2}}]$的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱性求得ω的值，從而得到函數(shù)的解析式，由此求得它的周期．
（2）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（3）求出g（x）的解析式，再求g（x）在區(qū)間$[{0\;，\;\;\frac{π}{2}}]$的值域．

解答 解：（1）由題可知：2$ω•\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，故有ω=3k+1．
又∵0＜ω＜1，∴ω=1．…（3分）
∴f（x）=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由此可得函數(shù)的周期為T=π．…（5分）
（2）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，可得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，…（7分）
∵$x∈[{-\frac{π}{2}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$
故函數(shù)f（x）在$x∈[{-\frac{π}{2}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．…（10分）
（3）g（x）上取點（x，y），關于$（{\frac{π}{4}\;，\;\;0}）$對稱的點的坐標為（$\frac{π}{2}$-x，-y），
代入f（x）=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$），可得g（x）=-1-2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
x∈$[{0\;，\;\;\frac{π}{2}}]$，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴g（x）在區(qū)間$[{0\;，\;\;\frac{π}{2}}]$的值域為[-3，0]．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的對稱性、周期性及求法，求函數(shù)y=Asin（ωx+∅）單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．