Question

8．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}+bx$且函數(shù)y=f（x）圖象上點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為0．
（1）試用含有a的式子表示b，并討論f（x）的單調(diào)性；
（2）對于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M（x₀，y₀），（x₀∈（x₁，x₂））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱AB存在“跟隨切線”．特別地，當(dāng)${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$時，又稱AB存在“中值跟隨切線”．試問：函數(shù)f（x）上是否存在兩點(diǎn)A，B使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出A，B的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義求得函數(shù)的定義域，根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用f′（1）=0，代入導(dǎo)函數(shù)化簡即可得到a與b的關(guān)系式，用a表示出b；然后分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到關(guān)；
（2）假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”，根據(jù)斜率公式求出直線AB的斜率，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線AB的斜率，它們相等，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可證明結(jié)論．于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相應(yīng)的x的范圍即分別為函數(shù)的遞增和遞減區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+b=0，
∴b=a-1，∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+a-1=-$\frac{（ax+1）（x-1）}{x}$，
當(dāng)f′（x）＞0時，∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，
當(dāng)f′（x）＜0時，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，
∴當(dāng)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值跟隨切線”，
則k_AB=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$=$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$-$\frac{a{（x}_{2}{+x}_{1}）}{2}$+a-1，
f′（ $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{2}{+x}_{1}}$-$\frac{a{（x}_{2}{+x}_{1}）}{2}$+a-1，
又k_AB=f′（ $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）得 $\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$=$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$，
∴l(xiāng)n $\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t，（t＞1），則lnt=2-$\frac{4}{t+1}$，（t＞1），此式表示有大于1的實數(shù)根，
令h（t）=lnt+$\frac{4}{t+1}$-2（t＞1），則h′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0
∴h（t）是（1，+∞）上的增函數(shù)，
∴h（t）＞h（1）=0，與lnt=2-$\frac{4}{t+1}$，（t＞1）有大于1的實數(shù)根相矛盾，
∴函數(shù)f（x）的圖象上不存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值跟隨切線”．

點(diǎn)評 此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡求值，是一道綜合題，屬難題．