Question

20．設點P為有公共焦點F₁，F(xiàn)₂的橢圓和雙曲線的一個交點，且cos∠F₁PF₂=$\frac{3}{5}$，橢圓的離心率為e₁，雙曲線的離心率為e₂，若e₂=2e₁，則e₁=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{10}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{7}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{5}$

Answer 1

分析 設橢圓與雙曲線的半長軸分別為a₁，a₂，半焦距為c．設|PF₁|=m，|PF₂|=n，不妨設m＞n，由橢圓與雙曲線的定義可得：m+n=2a₁，m-n=2a₂．又4c²=m²+n²-2mncos∠F₁PF₂，cos∠F₁PF₂=$\frac{3}{5}$，即可得出．

解答 解：設橢圓與雙曲線的半長軸分別為a₁，a₂，半焦距為c．e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$，e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$．
設|PF₁|=m，|PF₂|=n，不妨設m＞n，
則m+n=2a₁，m-n=2a₂．
∴m²+n²=2${a}_{1}^{2}$+2${a}_{2}^{2}$，mn=${a}_{1}^{2}$-${a}_{2}^{2}$．
4c²=m²+n²-2mncos∠F₁PF₂，
∴4c²=2${a}_{1}^{2}$+2${a}_{2}^{2}$-2（${a}_{1}^{2}$-${a}_{2}^{2}$）×$\frac{3}{5}$．
化為：5c²=${a}_{1}^{2}$+4${a}_{2}^{2}$，
∴5=$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$×4，又e₂=2e₁，
∴5=$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{4{e}_{1}^{2}}$×4，e₁∈（0，1）．
則e₁=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的定義標準方程及其性質、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．