Question

已知函數(shù)f（x）=x，g（x）=x²-a，若同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）（x∈R）有極值點(diǎn)；②函數(shù)H（x）=

f(x)

g(x)

在（2，+∞）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、[4，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、[-4，0）
• D、（0，4]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：分別求出函數(shù)F（x），H（x）的導(dǎo)數(shù)．利用函數(shù)極值和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：F（x）=f（x）•g（x）=x（x²-a）=x³-ax，
若函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）（x∈R）有極值點(diǎn)，
則F′（x）=3x²-a=0有兩個(gè)不同的解，即△=0+4×3a=12a＞0，即a＞0．
函數(shù)H（x）=

f(x)

g(x)

=

x

x2-a

在（2，+∞）上為減函數(shù)，
則H′（x）=

-x2-a

(x2-a)2

≤0在（2，+∞）上恒成立，
即a≥-x²，∵-x²＜-4，
∴a≥-4，
綜上a＞0，
故選：B．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)極值和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．