Question

16．設(shè)圓C：（x+4）²+y²=16，動(dòng)圓M：x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+22=0，平面內(nèi)是還有存在定點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓C的一條切線，切點(diǎn)為T₁，過點(diǎn)P作圓M的一條切線，切點(diǎn)為T₂，使無窮多個(gè)圓M，滿足$\frac{P{T}_{1}}{P{T}_{2}}$=$\frac{1}{2}$？如果存在，求出所有這樣的點(diǎn)P；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），利用$\frac{P{T}_{1}}{P{T}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，可得$\frac{（x+4）^{2}+{y}^{2}-16}{{x}^{2}+{y}^{2}-2ax-2（8-a）y+4a+22}$=$\frac{1}{4}$，從$\left\{\begin{array}{l}{2x-2y-4=0}\\{3{x}^{2}+3{y}^{2}+32x+16y-22=0}\end{array}\right.$，即可得出結(jié)論．

解答 解：圓C：（x+4）²+y²=16的圓心為（-4，0），半徑為4，動(dòng)圓M：x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+22=0的圓心為（a，8-a），半徑為$\sqrt{2{a}^{2}-20a+42}$
設(shè)P（x，y），則
因?yàn)?\frac{P{T}_{1}}{P{T}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{（x+4）^{2}+{y}^{2}-16}{{x}^{2}+{y}^{2}-2ax-2（8-a）y+4a+22}$=$\frac{1}{4}$，
所以3x²+3y²+（32+2a）x+2（8-a）y-4a-22=0，
所以a（2x-2y-4）+（3x²+3y²+32x+16y-22）=0，
所以$\left\{\begin{array}{l}{2x-2y-4=0}\\{3{x}^{2}+3{y}^{2}+32x+16y-22=0}\end{array}\right.$，
可得y²+10y+9=0，∴y=-1或-9，
∴P（1，-1）或P（-7，-9）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．