Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E是AB的中點．
（1）求三棱錐D₁-DCE的體積；
（2）求證：D₁E⊥A₁D；
（3）求二面角D₁-EC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)長方體的幾何特征可得DD₁是三棱錐D₁-DCE的高，由勾股定理可得底面DEC為直角三角形，代入棱錐體積公式，可得答案．
（2）以D為原點，DA為x軸建立空間坐標系D-xyz，分別求出D₁E和A₁D的方向向量，根據(jù)向量垂直的充要條件可得D₁E⊥A₁D；
（3）分別求出平面D₁EC的法向量和平面CDE的一個法向量，代入向量夾角公式可得答案．

解答：解：（1）由長方體性質(zhì)可得，DD₁⊥面DCE，所以DD₁是三棱錐D₁-DCE的高，
又點E是AB的中點，AD=AA₁=1，AB=2，
所以，DE=CE=

2

，則DE²+EC²=CD²
∴∠DEC=90° …（2分）
∴三棱錐D₁-DCE的體積V=

1

3

•DD₁•

1

2

•DE•CE=

1

3

×1×

1

2

×

2

×

2

=

1

3

…（4分）
（2）如圖，以D為原點，DA為x軸建立空間坐標系D-xyz
因為點E是AB的中點，且AD=AA₁=1，AB=2，
則D₁（0，0，1），E（1，1，0），A₁（1，0，1），D（0，0，0），C（0，2，0）
∴

D1E

=（1，1，-1），

A1D

=（-1，0，-1）…（6分）
∵

D1E

•

A1D

=0
所以，

D1E

⊥

A1D

即D₁E⊥A₁D…（8分）
（3）設

n

=（x，y，z）是平面D₁EC的法向量，
則

n • D1E =0 n • D1C =0

，即

x+y-z=0 2y-z=0

　令x=1得

n

=（1，1，2）…（10分）
又

DD1

=（0，0，1）是平面CDE的一個法向量，
設二面角D₁-EC-D的平面角為θ
則cosθ=

| n • DD1 |

| n |•| DD1 |

=

6

3

則sinθ=

3

3

則tanθ=

2

2

故二面角D₁-EC-D的正切值為

2

2

．…（13分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，棱錐的體積公式，直線與直線垂直，解答（1）的關鍵是求證棱錐的高及底面的形狀，（2）的關鍵是建立空間坐標系，將空間夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．