【題目】已知動圓的圓心為點，圓過點且與被直線截得弦長為．不過原點的直線與點的軌跡交于兩點，且．

（1）求點的軌跡方程；

（2）求三角形面積的最小值．

【答案】（1）．（2）16

【解析】

（1）設，根據(jù)圓的相交弦長公式，即可得出關系；

（2）由（1）得，曲線方程為，根據(jù)已知可得，設直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，利用根與系數(shù)關系，將三角形面積表示為的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)特征，即可求出最小值.

（1）設，圓的半徑

圓到直線的距離

由于圓被直線截得弦長為，所以

即，化簡得，

所以點的軌跡方程為．

（2）由知（或）

解法一：設直線的方程為

由消去得

即

，

由即，即

由于，所以，

所以解得

所以直線方程為恒過定點

三角形面積

當時，

所以三角形面積的最小值為16．

解法二：設

直線的方程為，則直線的方程為

由，解得即，

所以

同理可得

三角形面積

下面提供兩種求最小值的思路：

思路1：利用基本不等式

，

當且僅當即時，

所以三角形面積的最小值為16．

思路2：用導數(shù)

不妨設，則，

當時，；當時，；

所以在上單調遞減，在上單調遞增

所以當時，

所以三角形面積的最小值為16．

練習冊系列答案
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【題目】從拋物線上任意一點向軸作垂線段垂足為，點是線段上的一點，且滿足.

（1）求點的軌跡的方程；

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（1）證明：平面平面；

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