【題目】已知?jiǎng)訄A的圓心為點(diǎn)，圓過(guò)點(diǎn)且與被直線截得弦長(zhǎng)為．不過(guò)原點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，且．

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）求三角形面積的最小值．

【答案】（1）．（2）16

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)圓的相交弦長(zhǎng)公式，即可得出關(guān)系；

（2）由（1）得，曲線方程為，根據(jù)已知可得，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，利用根與系數(shù)關(guān)系，將三角形面積表示為的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)特征，即可求出最小值.

（1）設(shè)，圓的半徑

圓到直線的距離

由于圓被直線截得弦長(zhǎng)為，所以

即，化簡(jiǎn)得，

所以點(diǎn)的軌跡方程為．

（2）由知（或）

解法一：設(shè)直線的方程為

由消去得

即

，

由即，即

由于，所以，

所以解得

所以直線方程為恒過(guò)定點(diǎn)

三角形面積

當(dāng)時(shí)，

所以三角形面積的最小值為16．

解法二：設(shè)

直線的方程為，則直線的方程為

由，解得即，

所以

同理可得

三角形面積

下面提供兩種求最小值的思路：

思路1：利用基本不等式

，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，

所以三角形面積的最小值為16．

思路2：用導(dǎo)數(shù)

不妨設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

所以當(dāng)時(shí)，

所以三角形面積的最小值為16．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】從拋物線上任意一點(diǎn)向軸作垂線段垂足為，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)直線與軌跡交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為軌跡上異于的任意一點(diǎn)，直線分別與直線交于兩點(diǎn).問(wèn)：軸正半軸上是否存在定點(diǎn)使得以為直徑的圓過(guò)該定點(diǎn)？若存在，求出符合條件的定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.

(1)求證：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，為上一點(diǎn)，且.

（1）求證：平面；

（2）若，，，求三棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn).

（1）若，求三棱柱的體積；

（2）證明：平面；

（3）請(qǐng)問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，平面，試證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，正四面體的各棱長(zhǎng)均為2，、、分別為棱、、的中點(diǎn)，以為圓心、1為半徑，分別在面、面內(nèi)作弧，并將兩弧各分成五等份，分點(diǎn)順次為、、、、、以及、、、、、.一只甲蟲(chóng)欲從點(diǎn)出發(fā)，沿四面體表面爬行至點(diǎn)，則其爬行的最短距離為___________。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=（n∈N*）

（Ⅰ）證明當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{nan}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；

（Ⅱ）求數(shù)列{n2an}的前n項(xiàng)和Tn；

（Ⅲ）對(duì)任意n∈N*，使得 恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明: ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中， ， .

（1）證明：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案