Question

已知關(guān)于x的方程x²-kx+k+3=0（k為實數(shù)）有兩個正根，那么這兩個根的倒數(shù)和的最小值是

2

3

．

Answer 1

分析：由題意可解得k≥6，由根與系數(shù)關(guān)系可得

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=

k

k+3

=

1

1+ 3 k

，由k的范圍結(jié)合不等式的性質(zhì)變形可得答案．

解答：解：由題意可得△=（-k）²-4（k+3）≥0，
設(shè)兩個為x₁，x₂，由兩根為正根可得

x1+x2=k＞0 x1•x2=k+3＞0

，綜合解得k≥6，
故兩個根的倒數(shù)和為

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=

k

k+3

=

1

1+ 3 k

，
∵k≥6，∴0＜

1

k

≤

1

6

，0＜

，3

k

≤

1

2

，
故1＜1+

，3

k

≤

3

2

，
∴

1

1+ 3 k

≥

2

3

，
故兩個根的倒數(shù)和的最小值是

2

3

，
故答案為：

2

3

點評：本題考查一元二次方程根的存在性以及根與系數(shù)的關(guān)系，涉及不等式求范圍，屬中檔題．