Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+（x+1）²在x=1處有極值．
（1）求實數(shù)a值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）令g（x）=f′（x），若曲線g（x）在（1，g（1））處的切線與兩坐標軸分別交于A，B兩點（O為坐標原點），求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）先對f（x）求導，由題意可得，f′（1）=0，代入求a
（2）求函數(shù)f（x）的定義域，令f′（x）＞0，f′（x）＜0分別解出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間、減區(qū)間
（3）求g（1）=f′（1）及g′（x），然后求切線的斜率k=g′（1），寫出切線方程，求出A，B，進一步求結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=aln（x+1）+（x+1）²，
所以f′(x)=

a

x+1

+2x+2．
由f′（1）=0，可得

a

2

+2+2=0，a=-8．
經(jīng)檢驗a=-8時，函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
所以a=-8．
（Ⅱ）f（x）=-8ln（x+1）+（x+1）²，f′(x)=

-8

x+1

+2x+2=

2(x-1)(x+3)

x+1

．
而函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞），
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

由表可知，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，1），f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．（10分）
（Ⅲ）由于g(x)=f′(x)=

-8

x+1

+2x+2，
所以g′(x)=

8

(x+1)2

+2，當x=1時，g′（1）=4，g（1）=0．
所以切線斜率為4，切點為（1，0），
所以切線方程為y=4（x-1），即4x-y-4=0．
令x=0，得y=-4，令y=0，得x=1．
所以△AOB的面積S=

1

2

×|-4|×1=2

點評：本題考查了導數(shù)的應用：極值在x₀存在的性質(zhì)，f（x₀）=0；求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：即解f′（x）＞0，f′（x）＜0；導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在x₀處的導數(shù)f（x₀）為該點的切線斜率．屬于基礎知識的綜合運用．