Question

1．以坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等長度單位．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosφ}\\{y=2+tsinφ}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)，0≤φ＜π），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=8sinθ．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)φ變化時(shí)，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程，極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可．
（2）參數(shù)方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及弦長公式轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=tcosφ\\ y=2+tsinφ\end{array}\right.$消去t得xsinφ-ycosφ+2cosφ=0，
所以直線l的普通方程為xsinφ-ycosφ+2cosφ=0．
由ρcos²φ=8sinθ，得（ρcosθ）²=8ρsinθ，
把x=ρcosφ，y=ρsinφ代入上式，得x²=8y，
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²=8y．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入x²=8y，得t²cos²φ-8tsinφ-16=0，
設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則${t_1}+{t_2}=\frac{8sinφ}{{{{cos}^2}φ}}$，${t_1}{t_2}=-\frac{16}{{{{cos}^2}φ}}$，
所以$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{\frac{{64{{sin}^2}φ}}{{{{cos}^4}φ}}+\frac{64}{{{{cos}^2}φ}}}=\frac{8}{{{{cos}^2}φ}}$．
當(dāng)φ=0時(shí)，|AB|的最小值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，參數(shù)方程以及極坐標(biāo)方程的互化，考查計(jì)算能力．