Question

已知圓P的方程是x²+y²+ax+by+c=0，圓心P是直線l₁：x-y-3=0與直線l₂：x+y-1=0的交點(diǎn)
（1）求P的坐標(biāo)以及實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（2）若圓P與y軸交于A，B兩點(diǎn)，且∠APB=120°，求實(shí)數(shù)c的值．

Answer 1

分析：（1）把直線l₁ 與直線l₂的方程聯(lián)立方程組，求得圓心P的坐標(biāo)為（2，-1），可得a、b的值．再由圓的半徑為

1

2

a2+b2-4c

＞0，求得實(shí)數(shù)c的取值范圍．
（2）先求得點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，半徑為

1

2

20-4c

．再由半徑、弦心距、半弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，再由直角三角形中的邊角關(guān)系求得c的值．

解答：解：（1）由

x-y-3=0 x+y-1=0

 求得

x=2 y=-1

，故圓心P的坐標(biāo)為（2，-1），∴-

a

2

=2，且-

b

2

=-1，
求得 a=-4，b=2．
再由圓的半徑為

1

2

 

a2+b2-4c

=

1

2

16+4-4c

＞0，求得c＜5，即實(shí)數(shù)c的取值范圍為（-∞，5）．
（2）由（1）可得圓P的方程是x²+y²+-4x+2y+c=0，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，半徑為

1

2

20-4c

．
由于半徑、弦心距、半弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，再由直角三角形中的邊角關(guān)系可得cos60°=

4

1 2 20-4c

=

1

2

，
解得c=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圓的一般方程求圓心坐標(biāo)和半徑，直線和圓相交的性質(zhì)，屬于中檔題．