Question

數(shù)列滿足其中.
（I）求，猜想；（II）請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明之．

Answer 1

（1）1，，，S_n＝.（2）見解析.

第一問中利用數(shù)列的賦值思想，由定積分得到 m=1，則可以得到借助于通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和關(guān)系求解前幾項(xiàng)的和，并猜想得到通項(xiàng)公式。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可。
解（I）　易得：
∵a_n>0，∴S_n>0，
由S₁＝(a₁＋)，變形整理得＝1，
取正根得S₁＝1.
由S₂＝ (a₂＋)及a₂＝S₂－S₁＝S₂－1得
S₂＝ (S₂－1＋)，變形整理得＝2，取正根得S₂＝.
同理可求得S₃＝.由此猜想S_n＝.
（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，上面已求出S₁＝1，結(jié)論成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，即S_k＝.
那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
S_k＋1＝ (a_k＋1＋)＝ (S_k＋1－S_k＋)
＝ (S_k＋1－＋)．
整理得S＝k＋1，取正根得S_k＋1＝.
故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．(11分)
由(1)、(2)可知，對(duì)一切n∈N^*，S_n＝都成立．