Question

已知拋物線C的頂點在坐標原點，準線l的方程為x=-2，點P在準線l上，縱坐標為3t-

1

t

  (t∈R ， t≠0)，點Q在y軸上，縱坐標為2t．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求證：直線PQ恒與一個圓心在x軸上的定圓M相切，并求出圓M的方程．

Answer 1

分析：（1）利用準線l的方程求出P值即可求出拋物線C的方程；
（2）先求出直線PQ的方程并設(shè)出對應圓的方程，利用直線PQ恒與定圓M相切，得到關(guān)于圓心橫坐標和t以及半徑的關(guān)系式，再利用與t值無關(guān)就可求出圓M的方程．

解答：解：（1）設(shè)拋物線C的方程為y²=2px（p＞0），
因為準線l的方程為x=-2，所以-

p

2

=-2，即p=4，
因此拋物線C的方程為y²=8x；（4分）
（2）由題意可知，P(-2 ， 3t-

1

t

)，Q（0，2t），
則直線PQ方程為：y-2t=

2t-(3t- 1 t )

2

x，
即（t²-1）x+2ty-4t²=0，設(shè)圓心在x軸上，
且與直線PQ相切的圓M的方程為（x-x₀）²+y²=r²（r＞0），
則圓心M（x₀，0）到直線PQ的距離

|(t2-1)x0-4t2|

(t2-1)2+4t2

=r，
即（t²-1）x₀-4t²=r+rt²①或（t²-1）x₀-4t²=-r-rt²②由①
可得（x₀-r-4）t²-x₀-r=0對任意t∈R，t≠0恒成立，
則有

x0-r-4=0 -x0-r=0

，解得

x0=2 r=-2

（舍去）由②可得
（x₀+r-4）t²-x₀+r=0對任意t∈R，t≠0恒成立，
則有

x0+r-4=0 -x0+r=0

，可解得

x0=2 r=2

因此直線PQ恒與一個圓心在x軸上的定圓M相切，圓M的方程為（x-2）²+y²=4．（16分）

點評：在求拋物線的標準方程時，因為拋物線的標準方程有四種情況，所以我們在作題時一定要先分析焦點所在位置以及開口方向．