Question

13．如圖，在四棱錐中P-ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2$\sqrt{2}$，BC=4$\sqrt{2}$，PA=2．

（1）求證：AB⊥PC；
（2）在線段PD上，是否存在一點(diǎn)M，使得二面角M-AC-D的大小為45°，如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直角梯形的性質(zhì)求出AB，AC的長，根據(jù)勾股定理的逆定理得出AB⊥AC，由PA⊥平面ABCD得出AB⊥PA，故AB⊥平面PAC，于是AB⊥PC；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M，做出二面角的平面角，根據(jù)勾股定理求出M到平面ABCD的距離從而確定M的位置，利用棱錐的體積求出B到平面MAC的距離h，根據(jù)勾股定理計(jì)算BM，則$\frac{h}{BM}$即為所求角的正弦值．

解答 解：（1）證明：∵四邊形ABCD是直角梯形，
AD=CD=2$\sqrt{2}$，BC=4$\sqrt{2}$，
∴AC=4，AB=$\sqrt{（BC-AD）^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{8+8}$=4，
∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB，
∴AB⊥平面PAC，又PC?平面PAC，
∴AB⊥PC．
（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥AD于N，則MN∥PA，
∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC．
過點(diǎn)M作MG⊥AC于G，連接NG，則AC⊥平面MNG，
∴AC⊥NG，即∠MGN是二面角M-AC-D的平面角．
若∠MGN=45°，則NG=MN，又AN=$\sqrt{2}$NG=$\sqrt{2}$MN，
∴MN=1，即M是線段PD的中點(diǎn)．
∴存在點(diǎn)M使得二面角M-AC-D的大小為45°．
在三棱錐M-ABC中，V_M-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC•MN=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×1$=$\frac{8}{3}$，
設(shè)點(diǎn)B到平面MAC的距離是h，則V_B-MAC=$\frac{1}{3}{S}_{△MAC}•h$，
∵M(jìn)G=$\sqrt{2}$MN=$\sqrt{2}$，∴S_△MAC=$\frac{1}{2}AC•MG$=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×h$=$\frac{8}{3}$，解得h=2$\sqrt{2}$．
在△ABN中，AB=4，AN=$\sqrt{2}$，∠BAN=135°，∴BN=$\sqrt{16+2+2×4×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{26}$，
∴BM=$\sqrt{B{N}^{2}+M{N}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴BM與平面MAC所成角的正弦值為$\frac{h}{BM}$=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查了項(xiàng)目垂直的判定與性質(zhì)，空間角與空間距離的計(jì)算，屬于中檔題．