Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，一個焦點與拋物線y²=4x的焦點重合，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設(shè)O為坐標原點，k_OA•k_OB=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，判斷△AOB的面積是否為定值？若是，求出定值，若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點，可得c=1，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，以及直線的斜率公式，結(jié)合點到直線的距離公式，化簡整理，即可得到三角形ABO的面積為定值．

解答 解：（1）拋物線y²=4x的焦點為（1，0），則橢圓的c=1，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．，可得a=2，
又b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y=kx+m代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，可得m²＜3+4k²，
x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
由k_OA•k_OB=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，即y₁y₂=-$\frac{3}{4}$x₁x₂，
即$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，
化簡可得2m²=3+4k²，滿足△＞0，
由弦長公式可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{48（4{k}^{2}-{m}^{2}+3）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$，
又O到直線l的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則S_△ABO=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{6{m}^{2}}{3+4{k}^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{3（3+4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$．
故△AOB的面積為定值$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達定理和弦長公式，同時考查直線的斜率公式以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．