Question

17．已知兩點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），點(diǎn)P在以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓C，且|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，動(dòng)直線l：y=kx+m（|k|≤1）（m＞0）與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線l上的兩點(diǎn)，且F₁M⊥l，F(xiàn)₂N⊥l，當(dāng)|F₁M|+|F₂N|最大時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，c=1．再利用|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|構(gòu)成等差數(shù)列，即可得到a，利用b²=a²-c²得到a即可得到橢圓的方程；
（2）將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程3x²+4y²=12中，得到關(guān)于x的一元二次方程，由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，△=0，即可得到m，k的關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到|F₁M|+|F₂N|，利用|F₁M|+|F₂N|最大時(shí)，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）依題意，設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）．
∵|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|構(gòu)成等差數(shù)列，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4，a=2．
又∵c=1，∴b²=3．∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$…（4分）
（Ⅱ）將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程中，得
（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．                
由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，
化簡(jiǎn)得：m²=4k²+3．     …（6分）
設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)到動(dòng)直線L的距離為d，則
2d=|F₁M|+|F₂N|=2$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}}$…（8分）
=2$\sqrt{4-\frac{1}{1+{k}^{2}}}$，
∵k²≤1，∴k²=1時(shí)，|F₁M|+|F₂N|最大
此時(shí)m=$\sqrt{7}$．
故所求直線方程為y=-x+$\sqrt{7}$或y=x+$\sqrt{7}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想．