Question

2．已知在數列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$，則a₁₂等于（　　）

• A． $\frac{1}{21}$
• B． $\frac{1}{23}$
• C． $\frac{1}{25}$
• D． $\frac{1}{27}$

Answer 1

分析 由遞推公式依次求出數列的前四項由此猜想${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．再用數學歸納法進行證明，從而能求出a₁₂．

解答 解：∵在數列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$，
∴${a}_{2}=\frac{1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
${a}_{3}=\frac{\frac{1}{3}}{2×\frac{1}{3}+1}$=$\frac{1}{5}$，
${a}_{4}=\frac{\frac{1}{5}}{2×\frac{1}{5}+1}$=$\frac{1}{7}$，
由此猜想${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．
①當n=1時，${a}_{1}=\frac{1}{2×1-1}$=1，成立．
②假設n=k（k≥2）時，${a}_{k}=\frac{1}{2k-1}$成立，
則當n=k+1時，${a}_{k+1}=\frac{{a}_{k}}{2{a}_{k}+1}$=$\frac{\frac{1}{2k-1}}{\frac{2}{2k-1}+1}$=$\frac{1}{2+2k-1}$=$\frac{1}{2（k+1）-1}$，也成立，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$，
∴a₁₂=$\frac{1}{2×12-1}$=$\frac{1}{23}$．
故選：B．

點評 本題考查數列的第12項的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意遞推思想和數學歸納法的合理運用．