Question

已知曲線Γ：y²=4x，直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，2）且其一個(gè)方向向量為

d

=（1，k）．
（1）若曲線Γ的焦點(diǎn)F在直線l上，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）當(dāng)k=-1時(shí)，直線l與曲線Γ相交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的值；
（3）當(dāng)k（k＞0）變化且直線l與曲線Γ有公共點(diǎn)時(shí)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P（a，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q（x₀，y₀）落在曲線Γ的準(zhǔn)線上．若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）確定F（1，0），k=

0-2

1-0

=-2，可得結(jié)論；
（2）確定直線l：y=-x+2l與曲線Γ的方程聯(lián)立消去y并整理，利用弦長(zhǎng)公式求|AB|的值；
（3）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P（a，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q（x₀，y₀）落在曲線Γ的準(zhǔn)線上，直線l與曲線Γ的方程聯(lián)立消去y并整理，求出Q的橫坐標(biāo)，求出a的值．

解答： 解：（1）由y²=4x得，p=2，所以F（1，0），k=

0-2

1-0

=-2，
所以k=-2…（3分）
（2）當(dāng)k=-1時(shí)，

d

=（1，k）=（1，-1），直線l：y=-x+2…（4分）
將直線l與曲線Γ的方程聯(lián)立消去y并整理得，x²-8x+4=0，其中△＞0…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=8，x₁x₂=4…（7分）
于是|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=4

6

…（9分）
（3）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P（a，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q（x₀，y₀）落在曲線Γ的準(zhǔn)線上，
根據(jù)題意可得k＞0，所以直線l：y=kx+2，由于k＞0，
直線l與曲線Γ的方程聯(lián)立消去y并整理得，k²x²+4（k-1）x+4=0，
直線l與曲線Γ有公共點(diǎn)，故△=16（k-1）²-16k²≥0，解得k≤

1

2

，所以0＜k≤

1

2

…（11分）
點(diǎn)P（a，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q（x₀，y₀），則

y0 2 =k• x0+a 2 +2 y0 x0-a =- 1 k

…（12分）  
得x₀=

a(1-k2)-4k

1+k2

（0＜k≤

1

2

）…（13分），
當(dāng)點(diǎn)Q落在曲線Γ的準(zhǔn)線x=-1上時(shí)，

a(1-k2)-4k

1+k2

=-1，
所以a=1-

4(k- 1 2 )

k2-1

，即

a-1

4

=-

k- 1 2

k2-1

…（14分）
當(dāng)k=

1

2

時(shí)，a=1；當(dāng)0＜k＜

1

2

時(shí)，

4

1-a

=（k-

1

2

）-

3 4

k- 1 2

+1＞2，解得-1＜a＜1
所以-1≤a≤1，所以存在這樣的實(shí)數(shù)a，滿足題設(shè)條件．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．