Question

已知曲線f（x）=

1

3

x³+3x+

2

3

，求與直線4x-y-2=0平行的該曲線的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，由導(dǎo)數(shù)值等于4求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)一步求出切點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程．

解答： 解：由f（x）=

1

3

x³+3x+

2

3

，得f′（x）=x²+3，
設(shè)與直線4x-y-2=0平行的該曲線的切線的切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則f′(x0)=x02+3．
由x02+3=4，得x₀=±1．
當(dāng)x₀=1時，y0=

1

3

×13+3×1+

2

3

=4．
切線方程為y-4=4×（x-1），即4x-y=0；
當(dāng)x₀=-1時，y0=

1

3

×(-1)3+3×(-1)+

2

3

=-

8

3

．
切線方程為y+

8

3

=4×(x+1)，即12x-3y+4=0．
∴與直線4x-y-2=0平行的曲線的切線方程為4x-y=0，12x-3y+4=0．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線過該點(diǎn)的切線的斜率，是中檔題．