Question

如圖，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，EA=FC=AB=a．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角A-EB-F的某三角函數(shù)值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出AB⊥BC，AB⊥FC，由此能證明AB⊥平面BCF．
（Ⅱ）取BE的中點G，連接FG，由已知條件推導出∠AGF即為二面角A-EB-F的平面角．利用余弦定理能求出二面角A-EB-F的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，
又∵EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，∴AB⊥FC，
∵BC∩FC=C，
∴AB⊥平面BCF．
（Ⅱ）解：取BE的中點G，連接FG，
∵EA=BA，∴AC⊥EB，
又∵EF=FB=

2

a，∴FG⊥EB，
∴∠AGF即為二面角A-EB-F的平面角．
在△AGF中，AF=

3

a，AG=

2

2

a，F(xiàn)G=

6

2

a
由余弦定理有cos∠AGF=

AG2+FG2-AF2

2AG•FG

=

1 2 a2+ 3 2 a2-3a2

2• 2 2 a• 6 2 a

=-

3

3

∴二面角A-EB-F的余弦值是-

3

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的某三角函數(shù)值的求法，解題時要認真審題，合理地化空間問題為平面問題，注意余弦定理的合理運用．